القاسم المشترك الاكبر للسنة الرابعة متوسط

​يشرح هذا الدرس كيفية إيجاد القاسم المشترك الأكبر (PGCD) لعددين، وهو أكبر عدد طبيعي يقسم هذين العددين دون ترك باق.
​1. طرق إيجاد القاسم المشترك الأكبر
​أ. طريقة القواسم المشتركة
​لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين (مثلاً 12 و 18)، اتبع الخطوات التالية:
​أوجد قائمة قواسم العدد الأول: قواسم 12 هي {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
​أوجد قائمة قواسم العدد الثاني: قواسم 18 هي {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
​حدد القواسم المشتركة بين القائمتين: القواسم المشتركة هي {1, 2, 3, 6}.
​أكبر عدد في هذه القائمة هو القاسم المشترك الأكبر. إذن PGCD(12, 18) = 6.
​هذه الطريقة فعالة للأعداد الصغيرة، لكنها تصبح صعبة مع الأعداد الكبيرة.
​ب. طريقة خوارزمية إقليدس (القسمات المتتالية)
​تعتبر هذه الطريقة هي الأكثر شيوعًا وفعالية، خاصة للأعداد الكبيرة. تعتمد على مبدأ أن PGCD(a, b) = PGCD(b, r)، حيث r هو باقي قسمة a على b.
​مثال: أوجد PGCD(105, 30)
​اقسم العدد الأكبر على الأصغر:
105 = 30 \times 3 + 15
​كرر العملية باستخدام القاسم والباقي:
30 = 15 \times 2 + 0
​عندما يكون الباقي صفرًا، فإن آخر باقي غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
إذن، PGCD(105, 30) = 15.
​ج. طريقة الفروق المتتالية
​تعتمد على مبدأ أن PGCD(a, b) = PGCD(a-b, b).
مثال: أوجد PGCD(24, 16)
​24 - 16 = 8
​16 - 8 = 8
​8 - 8 = 0
​عندما يكون الفرق صفرًا، فإن العدد الذي سبقه هو القاسم المشترك الأكبر.
إذن، PGCD(24, 16) = 8.
هذه الطريقة أقل كفاءة من خوارزمية إقليدس لأنها تتطلب خطوات أكثر.
​2. تطبيقات القاسم المشترك الأكبر
​اختزال الكسور: لتبسيط كسر إلى شكله غير القابل للاختزال (أي كسراً مختزلاً)، نقوم بقسمة كل من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر.
مثال: اختزال الكسر \frac{36}{48}.
​نحسب PGCD(36, 48) باستخدام خوارزمية إقليدس.
48 = 36 \times 1 + 12
36 = 12 \times 3 + 0
إذن PGCD(36, 48) = 12.
​نقسم البسط والمقام على 12: \frac{36 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3}{4}.
​حل المسائل اللفظية: يُستخدم القاسم المشترك الأكبر في المسائل التي تتطلب تقسيم شيئين أو أكثر إلى أجزاء متساوية بأكبر حجم ممكن.
مثال: يراد تقسيم 24 تفاحة و 30 برتقالة على أكبر عدد ممكن من الأطباق بحيث يحتوي كل طبق على نفس العدد من التفاح والبرتقال.
​نحسب PGCD(24, 30).
30 = 24 \times 1 + 6
24 = 6 \times 4 + 0
إذن PGCD(24, 30) = 6.
​أكبر عدد من الأطباق هو 6.
​يحتوي كل طبق على 24 \div 6 = 4 تفاحات و 30 \div 6 = 5 برتقالات.